अर्थगोनल और ऑर्थोऑॉर्मल के बीच का अंतर

गणित में ओर्थोगोनल बनाम असामान्य

वेटर्स के एक सेट के साथ ऑर्थोगोनल और ऑर्थोनोर्मल दोनों शब्दों का अक्सर उपयोग किया जाता है यहां, 'वेक्टर' शब्द को इस अर्थ में प्रयोग किया जाता है कि यह एक सदिश अंतरिक्ष का एक तत्व है - एक बीजीय संरचना जिसका उपयोग रैखिक बीजगणित में किया गया है हमारी चर्चा के लिए, हम आंतरिक उत्पाद स्थान - एक वेक्टर स्पेस वी एक आंतरिक उत्पाद [] वी पर परिभाषित के साथ-साथ विचार करेंगे।

एक उदाहरण के रूप में, एक आंतरिक उत्पाद के लिए, अंतरिक्ष सभी 3-आयामी स्थिति वैक्टर का सेट है, साथ ही सामान्य डॉट उत्पाद के साथ।

ऑर्थोगोनल क्या है?

एक आंतरिक उत्पाद स्थान

वी का एक गैर-अधीनस्थ उपसमुच्चय एस को ऑर्थोगोनल कहा जाता है, अगर और केवल अगर प्रत्येक अलग यू, वी के लिए एस, [u, v] = 0; मैं। ई। यू और वी के आंतरिक उत्पाद आंतरिक उत्पाद स्थान में शून्य स्केलर के बराबर है। उदाहरण के लिए, सभी 3-आयामी स्थिति वाले वैक्टर के सेट में, यह कहने के बराबर है कि, स्थिति वैक्टर p और q < एस में, पी और क्यू एक दूसरे के लिए लंबवत हैं (याद रखें कि इस वेक्टर अंतरिक्ष में आंतरिक उत्पाद डॉट उत्पाद है। इसके अलावा, दो वैक्टर के डॉट उत्पाद 0 के बराबर होते हैं और यदि केवल दो वैक्टर एक-दूसरे से लंबवत होते हैं।)

सेट एस = {(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)} पर विचार करें, जो एक सबसेट है 3-आयामी स्थिति वैक्टर का ध्यान दें कि (0, 2, 0) (4, 0, 0) = 0 , (4, 0, 0) (0, 0, 5) = 0 और (0, 2, 0) (0, 0, 5) = 0. इसलिए, सेट

एस ऑर्थोगोनल है विशेष रूप से, दो वैक्टर को ओर्थोगोनल कहा जाता है यदि उनके आंतरिक उत्पाद 0 होते हैं। इसलिए,

एस में वेक्टर्स की प्रत्येक जोड़ी ऑर्थोगोनल है ऑर्थोनोर्मल क्या है? एक आंतरिक उत्पाद स्थान वी का एक गैर-अधीनस्थ उपसमुच्चय वी कहा जाता है कि यदि और यदि केवल एस ऑर्थोगोनल है और प्रत्येक वेक्टर यू में एस , [u, यू] = 1। इसलिए, यह देखा जा सकता है कि हर आदमिक सेट ऑर्थोगोनल है, लेकिन इसके विपरीत नहीं। उदाहरण के लिए, सभी 3-आयामी स्थिति वाले वैक्टर के सेट में, यह कहने के बराबर है कि, स्थिति वैक्टर

p

और q में प्रत्येक विशिष्ट जोड़ी के लिए एस , पी और q एक दूसरे के लिए लंबवत हैं, और प्रत्येक पी में एस, | पी | = 1। ऐसा इसलिए है क्योंकि शर्त

[पी, पी] = 1 को कम कर देता है p p = | p || p | cos0 = | पी | 2 = 1, जो के बराबर है | p | = 1। इसलिए, एक ऑर्थोगोनल सेट दिया गया है इसलिए हम प्रत्येक वेक्टर को अपनी परिमाण के द्वारा विभाजित करके हमेशा एक संबंधित ऑर्थोनोरल सेट बना सकते हैं। टी = {(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} सभी 3-आयामी स्थिति वेक्टरों के सेट का एक ऊर्ध्वाधर उपसमुच्चय है।यह देखना आसान है कि यह सेट S में प्रत्येक वैक्टर को उनके परिमाणों से विभाजित करके प्राप्त किया गया था। ऑर्थोगोनल और ऑर्थोनोर्मल के बीच अंतर क्या है? एक आंतरिक उत्पाद स्थान वी का एक गैर-अनुष्ठान उपसमुच्चय एस ओर्थोगोनल कहा जाता है, अगर और केवल अगर प्रत्येक विशिष्ट यू, वी में एस, [u, v] = 0 हालांकि, यह ओर्थोनोरल है, यदि और केवल अगर एक अतिरिक्त शर्त - प्रत्येक वेक्टर यू ^में एस , [u, यू] =

1 संतुष्ट है। कोई भी यौनाशीय सेट ऑर्थोगोनल है लेकिन इसके विपरीत नहीं है किसी भी ऑर्थोगोनल सेट का एक अनोखा प्राकृतिक सेट से मेल खाता है, लेकिन एक ऑर्थोनोमल सेट कई ऑर्थोगोनल सेटों के अनुरूप हो सकता है।