लॉगरिदमिक और घातीय के बीच का अंतर

लॉगरिदमिक बनाम घातांक। घातीय समारोह बनाम लॉगरिदमिक फ़ंक्शन

कार्य गणितीय वस्तुओं के सबसे महत्वपूर्ण वर्गों में से एक है, जो गणित के लगभग सभी उपक्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। जैसा उनके नाम बताते हैं कि दोनों घातीय कार्य और लॉगरिदमिक फ़ंक्शन दो विशेष कार्य हैं

एक समारोह दो सेटों के बीच एक संबंध है, जो इस तरह परिभाषित किया गया है कि पहले सेट में प्रत्येक तत्व के लिए, दूसरे सेट में उसके अनुसार मूल्य, अद्वितीय है। चलो ƒ सेट ए सेट बी से परिभाषित फ़ंक्शन। फिर प्रत्येक एक्स ε ए के लिए, प्रतीक ƒ (x) सेट B में अनन्य मान को दर्शाता है जो x से मेल खाती है। इसे ƒ के तहत एक्स की छवि कहा जाता है इसलिए, ए में बी से एक संबंध एक समारोह है, यदि और केवल तभी, प्रत्येक एक्स ε ए और वाई ε ए, यदि x = y तब ƒ (x) = ƒ (y) सेट ए को फ़ंक्शन ƒ का डोमेन कहा जाता है, और यह सेट है जिसमें समारोह परिभाषित किया गया है। घातीय कार्य क्या है?

घातीय कार्य, ƒ (x) = e

x

द्वारा दिया गया कार्य है, जहां e = lim (1 + 1 / n) ⁿ (≈ 2. 718 …) और एक ट्रान्सेंडैंटल अराजक संख्या है। फ़ंक्शन की विशेषताओं में से एक यह है कि फ़ंक्शन का व्युत्पन्न स्वयं के बराबर है; मैं। ई। जब y = ई ^x , उपाध्यक्ष / डीएक्स = ई ^x । इसके अलावा, समारोह एक निरंतर बढ़ती हुई फंक्शन है जो एक्स-अक्ष को एक asymptote के रूप में रखता है। इसलिए, फ़ंक्शन एक-से-एक भी है प्रत्येक एक्स ^{ε आर के लिए, हमारे पास ई} एक्स 0 है, और यह दिखाया जा सकता है कि यह आर + पर है। साथ ही, यह मूल पहचान e x + y ^{= e} x का अनुसरण करता है। ई ^{वाई और ई} 0 ^{= 1. फ़ंक्शन को 1 + x / 1 द्वारा दिए गए श्रृंखला के विस्तार का भी उपयोग किया जा सकता है! + x} 2 ^{/ 2! + x} 3 ^{/ 3! + … + x} n ^{/ n! + …} -2 -> ^{लॉगरिदमिक फ़ंक्शन क्या है?} लॉगरिदमिक फ़ंक्शन घातीय समारोह के व्युत्क्रम है। चूंकि, घातीय कार्य एक-से-एक और ^आर + ^{पर, एक समारोह जी को सकारात्मक वास्तविक संख्या के सेट से परिभाषित किया जा सकता है, जी (y) द्वारा दिए गए वास्तविक संख्याओं के सेट में। = एक्स, अगर और केवल तभी, y = e} x

। इस फ़ंक्शन को लॉगरिदमिक फ़ंक्शन कहा जाता है या सामान्यतः प्राकृतिक लॉगरिदम के रूप में। यह g (x) = लॉग e

x

= ln x द्वारा चिह्नित है। चूंकि यह घातीय कार्य का व्युत्क्रम है, यदि हम रेखा y = x पर घातीय समारोह के ग्राफ़ का प्रतिबिंब लेते हैं, तो हमारे पास लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का ग्राफ होगा। इस प्रकार, समारोह y- अक्ष के लिए asymptotic है

^{लॉगरिदमिक फ़ंक्शन कुछ बुनियादी नियमों का पालन करता है जिसमें से एलएन एक्सआई = एलएन एक्स + एल एन वाई, एलएन एक्स / वाई = एल एन एक्स - एलएन वाई और एलएन एक्सआई = वाई एल एन एक्स सबसे महत्वपूर्ण हैं।यह एक बढ़ती हुई फंक्शन भी है, और यह हर जगह निरंतर है। इसलिए, यह एक-से-एक भी है यह दिखाया जा सकता है कि यह} R ^{पर है} घातीय कार्य और लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के बीच क्या अंतर है? ^{-3 ->} • घातीय कार्य ƒ (x) = e

x

द्वारा दिया जाता है, जबकि लॉगरिदमिक फ़ंक्शन को g (x) = ln x द्वारा दिया जाता है, और पूर्व व्युत्क्रम है बाद के। • घातीय कार्यों का डोमेन वास्तविक संख्या का एक समूह है, लेकिन लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का डोमेन सकारात्मक संख्याओं का एक सेट है घातीय कार्य की श्रेणी सकारात्मक संख्याओं का एक सेट है, लेकिन लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की सीमा वास्तविक संख्याओं का एक सेट है।

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