अंकगणितीय अनुक्रम और ज्यामितीय अनुक्रम के बीच अंतर

अंकगणितीय अनुक्रम बनाम जियोमेट्रिक अनुक्रम संख्याओं के पैटर्न का अध्ययन और उनके व्यवहार गणित के क्षेत्र में एक महत्वपूर्ण अध्ययन है। अक्सर इन पैटर्नों को प्रकृति में देखा जा सकता है और हमें एक वैज्ञानिक दृष्टिकोण के व्यवहार में उनके व्यवहार की व्याख्या करने में सहायता करता है। अंकगणितीय अनुक्रम और ज्यामितीय अनुक्रम संख्याओं में होने वाले दो मूलभूत पैटर्न होते हैं, और अक्सर प्राकृतिक घटनाओं में पाए जाते हैं।

क्रम क्रमबद्ध नंबरों का एक सेट है अनुक्रम में तत्वों की संख्या या तो परिमित या अनंत हो सकती है

अंकगणितीय अनुक्रम (अरिथमेटिक प्रगति) के बारे में अधिक

एक अंकगणितीय क्रम को प्रत्येक लगातार शब्द के बीच निरंतर अंतर के साथ संख्याओं के अनुक्रम के रूप में परिभाषित किया गया है। इसे अंकगणितीय प्रगति के रूप में भी जाना जाता है।

अंकगणितीय सिकुनेस ⇒ एक

1 _{, एक} 2 _{, एक} 3, _एक 4 _{, …, एक} n <; जहां एक ₂ = एक ₁ + घ, एक ₃ = एक ₂ + घ, और इसी तरह।

अगर प्रारंभिक शब्द एक

1 होता है और आम अंतर डी होता है, तो n

व अनुक्रम का शब्द दिया जाता है; _एक n ^{= एक} 1

+ (एन -1) डी उपर्युक्त परिणाम को आगे बढ़ाकर, n _{व शब्द दिया जा सकता है के रूप में भी;} एक _n = एक

मी + (एनएम) डी, ^{जहां एक} एम अनुक्रम में एक यादृच्छिक शब्द है जैसे n> m ।

_{संख्याओं का भी सेट और अजीब संख्या का सेट अंकगणितीय अनुक्रमों का सबसे सरल उदाहरण है, जहां प्रत्येक अनुक्रम 2 का एक सामान्य अंतर (डी) होता है।} -3 -> _{अनुक्रम में शब्दों की संख्या या तो अनंत या परिमित हो सकती है अनंत मामले (n → ∞) में, आम अंतर (एक} n → ± ∞) के आधार पर अनुक्रम अनंतता जाता है। यदि आम अंतर सकारात्मक (डी> 0) है, तो अनुक्रम सकारात्मक अनगिनत होता है और, यदि आम अंतर नकारात्मक है (डी <0), तो यह नकारात्मक अनन्तता को जाता है। यदि शब्द परिमित हैं, तो अनुक्रम भी परिमित है।

अंकगणितीय क्रम में शब्दों का योग अंकगणितीय श्रृंखला के रूप में जाना जाता है: S

n

= एक

1

+ एक _{2 + एक} 3

+ एक

4 _{+ ⋯ + एक} n _{= Σ} i = 1 → n _एक i; _{और एस} एन _{= (एन / 2) (एक} 1 _{+ एक} n _{) = (एन / 2) [2 ए} 1 < + (एन -1) डी] श्रृंखला के मूल्य (एस एन) _{देता है} ज्यामितीय अनुक्रम (ज्यामितीय प्रगति) के बारे में अधिक _{-3 ->} एक ज्यामितीय क्रम को एक अनुक्रम के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें किसी भी दो लगातार शब्दों का अंश निरंतर होता है यह ज्यामितीय प्रगति के रूप में भी जाना जाता है _{ज्यामितीय अनुक्रम ⇒ एक} 1 _{, एक} 2 _{, एक} 3 _{, एक} 4

, …, एक

n <; जहां एक

2

/ एक ₁ = आर, एक ₃ / एक ₂ = आर, और इसी तरह, जहां आर एक असली है नंबर। _{सामान्य अनुपात (आर) और प्रारंभिक अवधि (ए) का उपयोग करके ज्यामितीय क्रम का प्रतिनिधित्व करना आसान है। इसलिए ज्यामितीय अनुक्रम ⇒ एक} 1 _{, एक} 1 _{आर, एक} 1 _r 2 _{, एक} 1 _आर 3, …, एक ₁ r एन -1 n _वें एक ⁿ = एक ₁ आर एन -1 द्वारा दिए गए शब्दों का सामान्य रूप। (प्रारंभिक अवधि के उप-लेख को समाप्त करना ⇒ एक ⁿ = आर एन -1) ज्यामितीय अनुक्रम भी सीमित या अनंत हो सकते हैं यदि शब्दों की संख्या परिमित है, तो अनुक्रम को परिमित कहा जाता है और यदि शब्दों अनंत हैं, तो अनुक्रम या तो अनुपात या अनुपात के आधार पर अनंत हो सकता है। सामान्य अनुपात, ज्यामितीय दृश्यों में कई गुणों को प्रभावित करता है ^{आर> ओ}

0 अनुक्रम कनवर्ज - घातीय क्षय, i। ई। एक n _{→ 0, n → ∞} r = 1 _{लगातार अनुक्रम, i। ई। एक} n ^{= निरंतर} r> 1 _{अनुक्रम अलग हो जाता है - घातीय वृद्धि, मैं। ई। एक} n ^{→ ∞, n → ∞} r <0

-1

क्रम oscillating है, लेकिन converges r = 1	अनुक्रम बारीक और स्थिर है, मैं। ई। एक	n = ± निरंतर r <-1 अनुक्रम बारीक और घूमता है। मैं। ई। एक
n	→ ± ∞, n → ∞ r = 0 अनुक्रम शून्य है
N बी: ऊपर के सभी मामलों में, एक	1 0; यदि कोई 1
<0, एक n से संबंधित संकेत उल्टे हो जाएंगे	एक गेंद के बाउंस के बीच का समय अंतराल आदर्श मॉडल में एक ज्यामितीय अनुक्रम के बाद होता है, और यह एक अभिसरण अनुक्रम होता है	ज्यामितीय अनुक्रम की शर्तों का योग एक ज्यामितीय श्रृंखला के रूप में जाना जाता है; एस
एन	= आर + आर 2 + एआर
3	+ + + आर एन = एस i = 1 → n ar i । ज्यामितीय श्रृंखला का योग निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना किया जा सकता है
एस एन	= एक (1-आर एन) / (1-आर); जहां एक प्रारंभिक शब्द है और आर अनुपात है

यदि अनुपात, आर 1 the, सीरीज कनवर्ज करती है। अनंत श्रृंखला के लिए, कनवर्जेन्स का मान एस _n = a / (1-r) _{अंकगणित और ज्यामितीय अनुक्रम / प्रगति के बीच क्या अंतर है?} • अंकगणितीय अनुक्रम में, किसी भी दो लगातार शब्दों का एक आम अंतर है (डी) जबकि, ज्यामितीय क्रम में, किसी भी दो लगातार शब्दों में निरंतर भागफल (आर) होता है। _{• अंकगणित अनुक्रम में, शब्दों की भिन्नता रैखिक है, i। ई। एक सीधी रेखा सभी बिंदुओं से गुजरती जा सकती है एक ज्यामितीय श्रृंखला में, भिन्नता घातीय है; आम अनुपात पर आधारित या तो बढ़ती या क्षय हो रही है} • सभी अनंत अंकगणितीय अनुक्रम भिन्न हैं, जबकि अनंत ज्यामितीय श्रृंखला या तो भिन्न या अभिसरण हो सकते हैं।

• ज्यामितीय श्रृंखला दोलन दिखा सकती है यदि अनुपात r ऋणात्मक है, जबकि अंकगणितीय श्रृंखला दोलन प्रदर्शित नहीं करता