रिमेंन इंटीग्रल और लेबेस्ग्यू इंटीग्रल के बीच का अंतर

रिमेंन इंटीग्रल बनाम लेबेस्ग्यू इंटीग्रल

की रिवर्स प्रक्रिया के रूप में देखा जा सकता है। एकत्रीकरण कलन में एक मुख्य विषय है एक ब्रॉडर अर्थ में, एकीकरण को भेदभाव की रिवर्स प्रक्रिया के रूप में देखा जा सकता है। जब वास्तविक दुनिया की समस्याएं मॉडलिंग करते हैं, तो डेरिवेटिव से जुड़े अभिव्यक्तियां लिखना आसान होता है। ऐसी स्थिति में, समारोह को खोजने के लिए एकीकरण ऑपरेशन की आवश्यकता होती है, जो विशेष रूप से व्युत्पन्न करती है।

दूसरे कोण से, एकीकरण एक प्रक्रिया है, जो एक समारोह ƒ (x) और δx के उत्पाद को बताता है, जहां δx एक निश्चित सीमा होती है यही कारण है कि, हम एकीकरण चिह्न को ∫ के रूप में उपयोग करते हैं। प्रतीक ∫ वास्तव में है, हम राशि को संदर्भित करने के लिए अक्षर s को खींचकर प्राप्त करते हैं।

रिमेंन इंटीग्रल

एक समारोह y = ƒ (एक्स) पर विचार करें। एक और बी के बीच का अभिन्न, जहां एक और बी एक सेट x से संबंधित है, इसे बी के रूप में लिखा गया है ∫ _एक ƒ (x) dx = [^एफ (एक्स)] एक → _{ख = एफ < (} बी) - एफ (एक)। इसे एक और बी के बीच एक मूल्यवान और सतत फ़ंक्शन y = ƒ (x) का एक निश्चित अभिन्न कहलाता है। यह क्षेत्र एक और ख के बीच वक्र के नीचे देता है। इसे रिमेंन इंटीग्रल भी कहा जाता है। रिमेंन अभिन्न बर्नहार्ड रीमैन द्वारा बनाया गया था एक सतत कार्य का एक अभिन्न अंग जोर्डन के माप पर आधारित है, इसलिए इसे समारोह के रीमेन रकम की सीमा के रूप में भी परिभाषित किया गया है। एक्स के लिए सम्मान के साथ समारोह का रिमेंन अभिन्न, एक्स 1, एक्स 2, …, x n _{एक बंद अंतराल पर परिभाषित वास्तविक मूल्य समारोह के लिए, अंतराल [ए, बी] और टी} 1 _{, टी 2} , …, टी एन पर परिभाषित, जहां एक्स _i ≤ टी _i ≤ एक्स _{i + 1} प्रत्येक आई ε (1, 2, …, n} के लिए, रिमेंन राशि को Σ _{i = o n-1 के रूप में परिभाषित किया गया है > ƒ (टी} i _{) (x} i + 1 _{- x} i ₎

_{लेबेस्ग्यू इंटीग्रल} लेबेस्ग्यू एक और प्रकार का अभिन्न अंग है, जिसमें रिमेंन इंटीग्रल की तुलना में कई प्रकार के मामलों को शामिल किया गया है Lebesgue अभिन्न Henri Lebesgue द्वारा 1902 में पेश किया गया था। Legesgue एकीकरण Riemann एकीकरण के एक सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है। हमें एक अभिन्न का अध्ययन करने की आवश्यकता क्यों है? _{हमें एक ए ए पर एक्सट ε} ए (x) = _{ 0 अगर, एक्स नहीं ε ए

1, एक्स ε ए

पर विचार करें। तब विशिष्ट कार्यों के परिमित रैखिक संयोजन, जिसे

एफ

(x) = एक ए

i

ƒ _ई i _{(x) को सरल कहा जाता है फ़ंक्शन यदि} ^ई i प्रत्येक के लिए मापने योग्य है I एफ _{(x) से अधिक} ई के लेबेस्ग्ज इंटीग्रल को ई ∫ ƒ (एक्स) डीएक्स द्वारा चिह्नित किया गया है। समारोह _एफ (एक्स) रिमेंन इंटीग्रेबल नहीं है इसलिए Lebesgue अभिन्न rephrase Riemann अभिन्न है, जो कार्यों के लिए एकीकृत करने के लिए कुछ प्रतिबंध है।

_{रिमेंन इंटीग्रल और लेबेस्ग्यू इंटीग्रल में क्या अंतर है?} · लेबेस्ग्यू इंटीग्रल रिमेंन इंटीग्रल का एक सामान्यीकरण रूप है। · लेबेस्ग्यू इंटीग्रल असंतुलन के एक गिनती अनन्तता की अनुमति देता है, जबकि रिमेंन इंटीग्रल एक सीमित संख्या में असंतुलन की अनुमति देता है।